Розрахунок прогину дерев’яної балки для двох випадків навантаження

У сучасному індивідуальному будівництві дерев’яні балки використовуються майже в кожному проекті. Знайти будівництво, в якій не використовуються дерев’яні перекриття, практично неможливо. Дерев’яні балки застосовуються і для влаштування підлог, і в якості несучих елементів, як опори для міжповерхових і горищних перекриттів.

Відомо, що дерев’яні балки, як і будь-які інші, можуть прогинатися під впливом різних навантажень. Ця величина – стрілка прогину – залежить від матеріалу, характеру навантаження і геометричних характеристик конструкції. Невеликий прогин цілком допустимо. Коли ми ходимо, наприклад, по дерев’яному настилу, то відчуваємо, як стать злегка пружинить, проте якщо такі деформації незначні, то нас це мало турбує.

Наскільки можна допустити прогин, визначається двома факторами:

  1. Прогин не повинен перевищувати розрахункових допустимих значень.
  2. Прогин не повинен заважати експлуатації будівлі.

Щоб дізнатися, наскільки будуть деформуватися дерев’яні елементи в конкретному випадку, потрібно провести розрахунки на міцність і жорсткість. Докладні і детальні розрахунки такого роду – це робота інженерів-будівельників, однак, маючи навичку математичних обчислень і знаючи кілька формул з курсу опору матеріалів, цілком можна самостійно розрахувати дерев’яну балку.

Будь-яка споруда повинна бути міцною. Саме тому балки перекриття перевіряють в першу чергу на міцність, щоб конструкція могла витримувати всі необхідні навантаження, не руйнуючись. Крім міцності конструкція повинна володіти жорсткістю і стійкістю. Величина прогину є елементом розрахунку на жорсткість.

Міцність і жорсткість нерозривно пов’язані між собою. Спочатку роблять розрахунки на міцність, а потім, використовуючи отримані результати, можна зробити розрахунок прогину.

Щоб правильно спроектувати власний заміський будинок, необов’язково знати повний курс опору матеріалів. Але заглиблюватися в занадто докладні обчислення не варто, як і прораховувати різні варіанти конструкцій.

Щоб не помилитися, краще скористатися укрупненими розрахунками, застосовуючи прості схеми, а вираховуючи навантаження на несучі елементи, завжди робити невеликий запас в більшу сторону.

Алгоритм обчислення прогину

Розглянемо спрощену схему розрахунку, опускаючи деякі спеціальні терміни, і формули для розрахунку двох основних випадків навантаження, прийнятих в будівництві.

Потрібно виконати наступні дії:

  1. Скласти розрахункову схему і визначити геометричні характеристики балки.
  2. Визначити максимальне навантаження на цей несучий елемент.
  3. При необхідності перевірити брус на міцність по вигинає моменту.
  4. Обчислити максимальний прогин.

Розрахункова схема балки і момент інерції

Розрахункову схему зробити досить просто. Потрібно знати розміри і форму поперечного перерізу елемента конструкції, спосіб спирання, а також проліт, тобто відстань між опорами. Наприклад, якщо ви укладаєте опорні бруси перекриття на несучі стіни будинку, а відстань між стінами 4 м, то проліт буде l = 4 м.

Дерев’яні балки розраховують як вільно опертих. Якщо це балка перекриття, то приймається схема з рівномірно розподіленим навантаженням q. У разі якщо потрібно визначити вигин від зосередженого навантаження (наприклад, від невеликої грубки, викладеної прямо на перекритті), приймається схема з зосередженим навантаженням F, яка дорівнює вазі, який буде тиснути на конструкцію.

Для визначення величини прогину f необхідна така геометрична характеристика, як момент інерції перетину J.

Для прямокутного перетину момент інерції підраховується за формулою:

J = b * h ^ 3/12, де:

b – ширина перерізу;

h – висота перерізу балки.

Наприклад, для перетину розміром 15х20 см момент інерції буде дорівнює:

J = 15 * 20 ^ 3/12 = 10 000 см ^ 4 = 0,0001 м ^ 4.

Тут потрібно звернути увагу на те, що момент інерції прямокутного перетину залежить від того, як воно зорієнтоване в просторі. Якщо брус покласти широкої стороною на опори, то момент інерції буде значно менше, а прогин – більше. Цей ефект кожен може відчути на практиці. Всі знають, що дошка, покладена звичайним способом, прогинається набагато сильніше, ніж та ж дошка, покладена на ребро. Це властивість дуже добре відбивається в самій формулі для обчислення моменту інерції.

Визначення максимального навантаження

Для визначення максимального навантаження на балку потрібно скласти всі її складові: вага самого бруса, вага перекриття, вага обстановки разом з розташованими там людьми, вага перегородок. Все це потрібно зробити в перерахунку на 1 пог.м балки. Таким чином, навантаження q буде складатися з наступних показників:

  • вага 1 пог.м балки;
  • вага 1 кв.м перекриття;
  • тимчасова навантаження на перекриття;
  • навантаження від перегородок на 1 кв.м перекриття.

Крім того, потрібно врахувати коефіцієнт k, що дорівнює відстані між балками, виміряного в метрах.

Для спрощення підрахунків можна прийняти усереднений вага перекриття 60 кг / м ?, прийняту в будівництві нормативну тимчасове навантаження на перекриття, рівну 250 кг / м ?, навантаження від перегородок з тим же нормативам 75 кг / м ?, вага дерев’яної балки можна обчислити, знаючи обсяг і щільність деревини. Для перетину 0,15х0,2 м ця вага буде дорівнює 18 кг / пог.м. Якщо відстань між брусами перекриття дорівнює 600 мм, то коефіцієнт k дорівнює 0,6.

Підраховуємо: q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг / м.

Перейдемо до розрахунку величини максимального прогину.

Розрахунки максимального прогину

Для розглянутого випадку з рівномірно розподіленим навантаженням максимальний прогин розраховується за формулою:

f = 5 * q * l ^ 4/384 * E * J.

У цій формулі величина Е – це модуль пружності матеріалу. Для деревини Е = 100 000 кгс / м ?.

Підставляючи отримані раніше величини, отримуємо, що максимальний прогин дерев’яної балки перетином 0,15х0,2 м і довжиною 4 м буде дорівнює 0,83 см.

Якщо прийняти розрахункову схему з зосередженим навантаженням, то формула для підрахунку прогину буде інша:

f = -F * l ^ 3/48 * E * J, де:

F – сила тиску на брус, наприклад, вага печі або іншого важкого устаткування.

Модуль пружності Е для різних видів деревини різний, ця характеристика залежить не тільки від породи дерева, але і від виду бруса – цільні балки, клеєний брус або оциліндрованої колоди мають різні модулі пружності.

Подібні обчислення можуть проводитися з різними цілями. Якщо вам потрібно просто дізнатися, в яких межах знаходитимуться деформації елементів конструкції, то після визначення стрілки прогину справу можна вважати завершеним. Але якщо вас цікавить, наскільки отримані результати відповідають будівельним нормам, то необхідно виконати порівняння отриманих результатів з цифрами, наведеними у відповідних нормативних документах.